Question

【題目】函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）對于任意，且，是否存在實數(shù)，使恒

成立，若存在求出的范圍，若不存在，說明理由；

（3）若正項數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項和為，試判斷與

的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3) ．

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的定義域、導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的符號可知函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得到函數(shù)的最大值；（2）恒成立，只需，可設(shè)，又，則只需在上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而有在上恒成立，分量參數(shù)后化為函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可；（3）由，得，知數(shù)列為等差數(shù)列，得，比較與大小，只需比較與的大小，由（1）知，，即，分別令，可得個不等式，累加可知結(jié)論．

試題解析：(1) ,

則，

所以函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增．

從而

（2）若恒成立，

則，

設(shè)函數(shù)，又，

則只需函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

即在上恒成立，

則，

記，則，從而在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故，

則存在，使得不等式恒成立．

（3）由．

即，由，得，

因為，由（1）知時，，

故，

即