Question

給出以下五個命題，其中所有正確命題的序號為

①③

①函數f(x)=

x2-2x

+2

x2-5x+4

的最小值為l+2

2

；
②已知函數f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，則動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1；
③命題“函數f（x）=xsinx+1，當x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|時，有f （x₁）＞f（x₂）”是真命題；
④“a=

∫

1 0

1-x2

dx”是函數“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4”的充要條件；
⑤已知等差數列{a_n}的前n項和為Sn，

OA

，

OB

為不共線向量，又

OP

=a

OA

+a2012

OB

，若

PA

=λ

PB

，則S₂₀₁₂=2013．

Answer 1

分析：分析①中函數的單調性及定義域，可求出①中函數的最小值，進而判斷①的真假；
分析②中函數f （x）=|x²-2|圖象和性質及已知中f （a）=f （b），且0＜a＜b，可判斷出動點P（a，b）的軌跡方程，分析曲線上點到直線距離的最值，可得答案；
分析③中函數的奇偶性及單調性，即可判斷出|x₁|＞|x₂|時，f （x₁）與f（x₂）的大小，進而判斷③的真假；
分析④中，a=

∫

1 0

1-x2

dx的值，及y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4時，對應的a值，比較后根據充要條件的定義可得答案；
根據三點共線的充要條件，分析出a+a₂₀₁₂=1，進而根據前n項和公式求出S₂₀₁₂，即可判斷⑤的真假．

解答：解：①中函數f(x)=

x2-2x

+2

x2-5x+4

的定義域為{x|x≥4或x≤0}．
又x∈[4，+∞）時，f（x）單調遞增，⇒f（x）≥f（4）=1+2

2

；
而x∈（-∞，0]時，f（x）單調遞減，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；
故最小值為1+2

2

，
故①正確；
②中，由題意可得0＜a＜

2

＜b，f （a）=2-a²，f （b）=b²-2，
∴a²+b²=4（0＜a＜

2

＜b），
其圖象為一段圓弧，由于弧a²+b²=4（0≤a≤

2

≤b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小的點為（

2

，

2

）
但弧a²+b²=4（0＜a＜

2

＜b）不含（

2

，

2

）點
故②錯誤；
③中，函數f（x）=xsinx+1為偶函數，且在[0，

π

2

]上為增函數
故當|x₁|＞|x₂|時，有f （x₁）＞f（x₂），
故③正確；
④中，a=

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

，則y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4，
但當y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4，a=±

π

4

故“a=

∫

1 0

1-x2

dx”是函數“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4”的充分不必要條件；
故④錯誤；
⑤中，若

PA

=λ

PB

，則P，A，B三點共線
又

OP

=a

OA

+a2012

OB

，
∴a+a₂₀₁₂=1
∴S₂₀₁₂=

2012(a+a2012)

2

=1006≠2013
故⑤錯誤
故答案為：①③

點評：本題是一個函數性質及數列的綜合題，難度稍大，熟練掌握函數的定義域、值域（最值）的求法，函數的單調性、奇偶性，充要條件的定義，向量法三點共線的充要條件及數據的前n項和公式是解答的關鍵．