Question

給出以下五個命題：其中正確命題的序號是

①②③⑤

．
①命題“對任意x∈Rx²+x+1＞0”的否定是“存在x∈Rx²+x+1≤0”
②函數f(x)=(

1

2

)x-x

1

3

在區間（0、1）上存在零點
③“a=1”是“函數y=cos2ax的最小正周期為π”的充分不必要條件
④直線x-2y+5=0與圓x²+y²=8交于A、B兩點，則|AB|=2

2

⑤若直線2ax-bx+8=0（a＞0，b＞0）平分圓x²+y²+4x-8y+1=0周長則

8

a

+

2

b

最小值為9．

Answer 1

分析：根據全稱、特稱命題的否定方法，可判斷①的真假；根據零點存在定理可得②的真假；對于③，利用最小正周期為π，求出a，即可判斷選項；對于④，先求出圓心到直線的距離d，再利用弦長公式求得弦長|AB|；⑤由題意可知圓x²+y²+4x-8y+1=0的圓心（-2，4）在直線2ax-bx+8=0上，可得a+b=2，而

8

a

+

2

b

=

1

2

（

8

a

+

2

b

）（a+b），展開利用基本不等式可求最小值．

解答：解：①對，因為命題“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1≤0”．
②中f（0）=1＞0，f（1）=

1

2

-1＜0，根據零點存在定理，
得函數f(x)=(

1

2

)x-x

1

3

在區間（0、1）上存在零點．可知②正確；
③：函數y=cos2ax，它的周期是

2π

|2a|

=π，a=±1，
顯然“a=1”可得“函數y=cos2ax的最小正周期為π”，后者推不出前者，
∴“a=1”是“函數y=cos2ax的最小正周期為π”的充分不必要條件，正確；
④：圓x²+y²=8的圓心為（0，0），半徑等于2

2

，圓心不在直線x-2y+5=0上，
由圓的性質可知，|AB|＜2

2

，故④不對；
⑤：由圓的性質可知，直線2ax-bx+8=0即是圓的直徑所在的直線方程，
∵圓x²+y²+4x-8y+1=0的圓心（-2，4）在直線2ax-bx+8=0上
∴-4a-4b+8=0即a+b=2，
∵

8

a

+

2

b

=

1

2

（

8

a

+

2

b

）（a+b）=

1

2

（10+

8b

a

+

2a

b

）≥

1

2

（10+8）=9，
當且僅當

8b

a

=

2a

b

取等號，
∴

8

a

+

2

b

的最小值9，正確．
故答案為：①②③⑤．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，熟練掌握相關的基本概念是關鍵．