Question

（2012•陜西）設函數f(x)=

lnx，x＞0 -2x-1，x≤0

，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區域，則z=x-2y在D上的最大值為

2

．

Answer 1

分析：先求出曲線在點（1，0）處的切線，然后畫出區域D，利用線性規劃的方法求出目標函數z的最大值即可．

解答：解：當x＞0時，f′（x）=

1

x

則f′（1）=1所以曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線為y=x-1
D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區域如下圖陰影部分

z=x-2y可變形成y=

1

2

x-

z

2

，當直線y=

1

2

x-

z

2

過點A（0，-1）時，截距最小，此時z最大
最大值為2
故答案為：2

點評：本題主要考查了線性規劃，以及利用導數研究函數的切線，同時考查了作圖的能力和分析求解的能力，屬于中檔題．