Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn=2an+n（n∈N*）．
（1）求證數列{an﹣1}是等比數列，并求數列{an}的通項公式；
（2）若bn=log2（﹣an+1），求數列{ }的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an+n（n∈N+）

∴Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1（n≥2）

兩式相減得：an=2an﹣1﹣1，

變形可得：an﹣1=2（an﹣1﹣1），

又∵a1=2a1+1，即a1﹣1=﹣1﹣2=﹣2，

∴數列{an﹣1}是首項為﹣2、公比為2的等比數列，

∴數列an﹣1=﹣22n﹣1=﹣2n，an=﹣2n+1

（2）解：∵bn=log2（﹣an+1）=log22n=n．

∴ =

∴Tn=

=

= ﹣

【解析】（1）通過Sn=2an+n（n∈N+）與Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1（n≥2）作差、變形可知an﹣1=2（an﹣1﹣1），進而計算即得結論．（2）由bn=log2（﹣an+1）=log22n=n．得 = ，累加即可求解．
【考點精析】掌握等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．