Question

【題目】已知函數的圖象在處的切線方程為，其中是自然對數的底數.

（1）若對任意的，都有成立，求實數的取值范圍；

（2）若函數的兩個零點為，試判斷的正負，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由解得.由題可得在恒成立，分別求得兩邊函數的值域，運用恒成立思想，即可得到k的范圍

（2）由題意知，函數， 是函數的兩個零點，易得函數在區間在區間上單調遞減.只需證明即可.

試題解析： （1）由題得， ，

∵函數在處的切線方程為，

∴，∴.

依題意， 對任意的都成立，

∴，即對任意的都成立，從而.

又不等式整理可得， .

令，

∴ .

令，得，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增.

∴.

綜上所述，實數的取值范圍為.

（2）結論是.

理由如下：由題意知，函數，

∴，

易得函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

∴只需證明即可.

∵是函數的兩個零點，

∴相減，得.

不妨令，

則，∴，

∴， ，

即證，

即證.

∵ ，

∴在區間上單調遞增.

∴.

綜上所述，函數總滿足.