Question

【題目】已知函數，其中為參數.

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）討論函數極值點的個數，并說明理由；

（3）若對任意， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）運用導數的幾何意義先求切線的斜率，再運用直線的點斜式方程求解；（2）先對函數求導，再構造函數，運用導數與函數的單調性之間的關系，運用分類整合的數學思想進行分析求解；（3）依據不等式恒成立的條件，運用導數與函數的單調性之間的關系，結合分析推證的數學思想進行分析推證：

（1）

（2），定義域為

，設，

當時， ，故，

所以在上為增函數，所以無極值點.

②當時， ，

若時， ，故，故在上遞增，所以無極值點.

若時，設的兩個不相等的實數根為，且，

且，而，則，

所以當單調遞增；

當單調遞減；

當單調遞增.

所以此時函數有兩個極值點；

③當時，設的兩個不相等的實數根為，且，

但，所以，

所以當單調遞増；

當單調遞減.

所以此時函數只有一個極值點。

綜上得：

當時有一個極值點；

當時的無極值點；

當時， 的有兩個極值點.

（3）方法一：

當時，由（2）知在上遞增，

所以，符合題意；

當時， ， 在上遞增，所以，

符合題意；

當時， ，所以函數在上遞減， 所以，

不符合題意；

當時，由（1）知，于是

當時， ，此時，不符合題意.

綜上所述， 的取值范圍是.

方法二： ，注意到對稱軸為， ，

當時，可得，故在上遞增，所以，符合題意；

當時， ，所以函數在上遞減， 此時，

不符合題意；

當時，由（1）知，于是

當時， ，此時，不符合題意.

綜上所述， 的取值范圍是.