Question

【題目】在直角坐標系中，圓：，圓：.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求圓，的極坐標方程；

（2）設，分別為，上的點，若為等邊三角形，求.

Answer 1

【答案】（1）C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ（2）．

【解析】

（1）由直角坐標方程與極坐標方程的互化即可求解；（2）設A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜，由ρA＝2cosθ=ρB＝－4cos(θ＋)，得tanθ，則可求ρA

（1）依題意可得，圓C1：(x－1)2＋y2＝1；圓C2：(x＋2)2＋y2＝4．

所以C1：x2＋y2＝2x；C2：x2＋y2＝－4x，

因為x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，

所以C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ．

（2）因為C1，C2都關于x軸對稱，△OAB為等邊三角形，

所以不妨設A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜．

依題意可得，ρA＝2cosθ，ρB＝－4cos(θ＋)．

從而2cosθ＝－4cos(θ＋)，

整理得，2cosθ＝sinθ，所以tanθ＝，

又因為0＜θ＜，所以cosθ＝，

|AB|＝|OA|＝ρA＝．