Question

【題目】已知曲線C的極坐標方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為 （t為參數）．
（I）寫出直線l的一般方程與曲線C的直角坐標方程，并判斷它們的位置關系；
（II）將曲線C向左平移2個單位長度，向上平移3個單位長度，得到曲線D，設曲線D經過伸縮變換 得到曲線E，設曲線E上任一點為M（x，y），求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵直線l的參數方程為 （t為參數）．

∴消去數t，得直線l的一般方程為 ，

∵曲線C的極坐標方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，

∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

得曲線C的直角坐標方程為（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．

∵圓心（2，3）到直線l的距離d= =r，

∴直線l和曲線C相切．

（II）曲線D為x2+y2=1．

曲線D經過伸縮變換 ，得到曲線E的方程為 ，

則點M的參數方程為 （θ為參數），

∴ ，

∴ 的取值范圍為[﹣2，2]．

【解析】（I）直線l的參數方程消去數t，能求出直線l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，能求出曲線C的直角坐標方程，由圓心（2，3）到直線l的距離d=r，得到直線l和曲線C相切．（II）曲線D為x2+y2=1．曲線D經過伸縮變換 ，得到曲線E的方程為 ，從而點M的參數方程為 （θ為參數），由此能求出 的取值范圍．