Question

已知兩點F1(-

2

，0)、F2(

2

，0)，曲線C上的動點P（x，y）滿足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

|×|

.

PF2

|=2．
（I）求曲線C的方程；
（II）設直線l：y=kx+m（k≠0），對定點A（0，-1），是否存在實數m，使直線l與曲線C有兩個不同的交點M、N，滿足|AM|=|AN|？若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）用坐標表示向量，利用曲線C上的動點P（x，y）滿足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

||

.

PF2

|=2，建立方程，化簡可求曲線C的方程；
（II）法一：直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及k_AP•k=-1，結合判別式可得結論；
法二：利用點差法，結合點P（x₀，y₀）在橢圓內，即可得到結論．

解答：解：（I）∵F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，P（x，y）
∴

.

PF1

=(-

2

-x，-y).

.

PF2

=(

2

-x，-y)
∵曲線C上的動點P（x，y）滿足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

||

.

PF2

|=2
∴x2-2+y2+

(- 2 -x)2+y2

•

( 2 -x)2+y2

=2
化簡可得

x2

3

+y2=1
∴所求曲線的方程為

x2

3

+y2=1；                                  
（II）法一：設M（x1，y1），N（x₂，y₂），線段MN的中點為P（x₀，y₀），
聯立方程組得，

y=kx+m x2 3 +y2=1

，∴（3k²+1）x²+6mkx+3m²-3=0               
由直線與橢圓有兩個交點，得m²＜3k²+1，①
且x0=-

3km

1+3k2

，y0=kx0+m=

m

1+3k2

，
又k_AP•k=-1，∴

y0+1

x0

=-

1

k

，即m=

1+3k2

2

，②
①②聯立，可得m∈(

1

2

，2)．
法二：點差得k=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

3y0

，又k_AP•k=-1?

y0+1

x0

=-

1

k

，故x0=-

3

2

k，y0=

1

2

．
點P（x₀，y₀）在橢圓內，得k²∈（0，1），m=y0-kx0=

1

2

+

3

2

k2∈(

1

2

，2)

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查點差法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．