Question

（本題滿分16分）
已知函數，，且在點處的切線方程為．
（1）求的解析式；
（2）求函數的單調遞增區間；
（3）設函數若方程恰四個不同的解，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）見解析（3）

（1），由條件，得
 即 解得，所以．  3分
（2），其定義域為，
，
令，得（*）          5分
①若，則，即的單調遞增區間為；      
②若，（*）式等價于，
當時，，無解，即無單調增區間，
當時，則，即的單調遞增區間為，
當，則，即的單調遞增區間為．  8分
（3）..
當時，，，
令，得，且當時，；當時，，
所以在上有極小值，即最小值為．   10分
當時，，，
令，得，
①若，方程不可能有四個解；        12分
②若，當時，，當時，，
所以在上有極小值且是最小值為，
又，的大致圖象如圖1所示，

從圖象可以看出方程不可能有四個解．  14分
③若，當時，，當時，，
所以在上有極大值且是最大值為，
又，的大致圖象如圖2所示，

從圖象可以看出若方程恰四個不同的解，
必須，解得．
綜上所述，滿足條件的實數的取值范圍是．    16分
【命題意圖】本題考查導數在函數中應用、函數圖像等知識 ，意在考查運算求解能力，數學綜合論證能力.