Question

a＞b＞c，n∈N^*，且

1

a-b

+

1

b-c

≥

n

a-c

恒成立，則n的最大值為

 

．

Answer 1

分析：將不等式變形分離出n，不等式恒成立即n大于等于右邊的最小值；由于a-c=a-b+b-c，湊出兩個正數(shù)的積是常數(shù)，利用基本不等式求出最小值．

解答：解：

1

a-b

+

1

b-c

≥

n

a-c

恒成立
即n≤

a-c

a-b

+

a-c

b-c

恒成立
只要n≤(

a-c

a-b

+

a-c

b-c

)最小值
∵

a-c

a-b

+

a-c

b-c

=

a-b+b-c

a-b

+

a-b+b-c

b-c

=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

∵a＞b＞c
∴a-b＞0，b-c＞0
∴

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2

b-c a-b • a-b b-c

=2
∴(

a-c

a-b

+

a-c

b-c

)≥4
∴(

a-c

a-b

+

a-c

b-c

)最小值為4
故答案為4．

點評：本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值要注意滿足：一正、二定、三相等．湊定值是難點．