Question

【題目】已知函數．

(1)當時，求曲線在點處的切線方程；

(2)若是自然對數的底數)時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】試題分析：（1）求得的導數，由求得切線的斜率，由點斜式方程可得所求切線的方程；（2）由題意可得在恒成立，由時，遞增，可得值域為，運用分離參數，求得右邊函數的最小值，注意運用導數，判斷單調性，即可得到所求范圍.

試題解析：(1)f(x)＝4x－的導數為f′(x)＝4＋，可得在點(2，f(2))處的切線斜率為k＝4＋1＝5，切點為(2,6)，可得切線的方程為y－6＝5(x－2)，即為y＝5x－4．

(2)x∈(1, ]時，不等式f(x)－g(x)＜3恒成立，即為m＜3ln x＋3在(1， ]恒成立， 由1＜x≤時，3ln x＋3∈，x－遞增，可得值域為，即有m＜的最小值，

由的導數為，

可得1＜x≤時，h′(x)＜0，h(x)遞減，可得x＝時，h(x)取得最小值，且為．

可得m＜．則m的范圍是．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數的單調性、不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.