Question

（08年江蘇卷）（I）設是各項均不為零的等差數列，且公差，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：

（1）①     當時，求的數值；②求的所有可能值；

（2）求證：對于一個給定的正整數，存在一個各項及公差都不為零的等差數列，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列。

Answer 1

【解析】本小題考查等差數列與等比數列的綜合運用。

（1）①當n=4時, 中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d=0。

     若刪去，則，即化簡得，得

若刪去，則，即化簡得，得

綜上，得或。

②當n=5時, 中同樣不可能刪去，否則出現連續三項。

若刪去，則，即化簡得，因為，所以不能刪去；

當n≥6時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個，則必有，這與矛盾。(或者說：當n≥6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項)

綜上所述，。

（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列，其中（）為任意三項成等比數列，則，即，化簡得   （*）

由知，與同時為0或同時不為0

當與同時為0時，有與題設矛盾。

故與同時不為0，所以由（*）得

因為，且x、y、z為整數，所以上式右邊為有理數，從而為有理數。

于是，對于任意的正整數，只要為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列。

例如n項數列1，，，……，滿足要求。