Question

設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）記曲線在點（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值.

Answer 1

（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為
（2）

（1）由已知，
所以，
由，得，
所以，在區(qū)間上，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
在區(qū)間上，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）因為，
所以曲線在點處切線為：.
切線與軸的交點為，與軸的交點為，
因為，所以，
，
在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，當時，有最大值，此時，
所以，的最大值為.