Question

【題目】已知函數f（x）＝xex，g（x）＝a（lnx+x）.

（1）當a＝e時，求證：f（x）≥g（x）恒成立；

（2）當a＞0時，求證：f（x）≤g（x）+1恒有解.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）令，，求導后即可得證；

（2）構造函數，問題轉化為，h（x）最小值不大于1即可，利用導數求最值直接證明即可．

證明：（1）當a＝e時，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝xex﹣e（lnx+x），x＞0，則，

由h′（x）＝0得x＝1，當x＞1時，h′（x）＞0，當0＜x＜1時，h′（x）＜0，

∴當x＝1時，h（x）取得最小值，即h（x）≥h（1）＝0，

∴f（x）≥g（x）；

（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝xex﹣a（lnx+x），則，

令m（x）＝xex﹣a（x＞0），則m′（x）＝（x+1）ex＞0，

∴m（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∵a＞0，

∴m（0）＝﹣a＜0，m（a）＝aea﹣a＞0，

因此存在x0∈（0，a），使得，

當x∈（0，x0）時，m（x）＜0，h′（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，m（x）＞0，h′（x）＞0，

∴當x＝x0時，h（x）取最小值，，

令s（a）＝a（1﹣lna），a＞0，s′（a）＝﹣lna，當a＞1時，s′（a）＜0，當0＜a＜1時，s′（a）＞0，

所以當a＝1時，s（a）取得最大值，即s（a）≤s（1）＝1，

∴f（x）≤g（x）+1恒有解.