Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.

（1）令，求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足：.

①求數(shù)列的通項公式；

②是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，

【解析】

（1）由題，得，即可得到本題答案；

（2）①由，得，所以，恒等變形得，，由此即可得到本題答案；

②由錯位相減求和公式，得的前n項和，然后通過求的解，即可得到本題答案.

（1）因為，所以，即，

又因為，所以，即，

所以數(shù)列是以2為公比和首項的等比數(shù)列，所以；

（2）①由（1）知，，當(dāng)時，，

又因為也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為，

因為，所以，所以，

即，

因為，所以數(shù)列是以1為首項和公差的等差數(shù)列，所以，

故；

②設(shè)，則，

所以，

兩式相減得，

所以，

∵，∴，

即：，即.

令，則，即，

所以，數(shù)列單調(diào)遞減，

，因此，存在唯一正整數(shù)，使得成立.