【題目】如圖，在正四棱柱
中，
，
，
，
，
是棱
的中點，平面
與直線
相交于點
.
（1）證明：直線
平面
.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）推導出
，
，設點
為
的中點，連結
，
，推導出
平面
，
平面，從而平面
平面，由此能證明
平面．
（2）以
為原點，
為
軸，
為
軸，
為
軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角
的正弦值．
解：（1）證明：
平面
平面
，
平面
平面
，平面平面
，
，由題意得，
設點為的中點，連結，，
是棱
的中點，
，
平面，
平面，
平面，
，
，
，
平面，
平面，
平面，
，
平面平面，
平面
，
平面．
（2）解：
，
，如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，0，
，
，1，，
，0，
，
1，
，
，1，，
，1，，
，0，，
設平面
的法向量
，，
，
則
，取
，得
，
，，
設平面
的法向量
，
，
，
則
，取
，得
，1，，
設二面角的平面角為
，
由
，
，
二面角的正弦值為．
優加精卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三棱柱
中，
，
，點
為
的中點，
.
（1）求證：
平面
；
（2）條件①：直線
與平面
所成的角為
；
條件②：
為銳角，三棱錐
的體積為
.
在以上兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題：
若平面
平面，______，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如果執行程序框圖，輸入正整數
，
，滿足
，那么輸出的
等于（ ）．
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A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，正四棱錐
底面的四個頂點
，
，
，
在球
的同一個大圓上，點
在球面上，且已知
．
（1）求球的表面積；
（2）設
為
中點，求異面直線
與
所成角的大小．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】雙曲線C的漸近線方程為
，一個焦點為F（0，﹣8），則該雙曲線的標準方程為_____.已知點A（﹣6，0），若點P為C上一動點，且P點在x軸上方，當點P的位置變化時，△PAF的周長的最小值為_____.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】觀察不等式：
，
，
，
，
由此歸納第
個不等式為____________；要用數學歸納法證明該不等式，由
時不等式成立，推證
時，左邊應增加的項數為____________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線C:
的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且
.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點，若AB的垂直平分線
與C相交于M,N兩點，且A,M,B,N四點在同一個圓上，求直線l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD與△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：
①
；
②∠BAC＝60°；
③三棱錐D﹣ABC是正三棱錐；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正確結論的序號是 ．（請把正確結論的序號都填上）
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