Question

一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖1所示的虛線裁下剪開，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器．

（1）試建立容器的容積V與x的函數關系式，并求出函數的定義域．
（2）記四棱錐（如圖2）的側面積為S′，定義

V

S′

為四棱錐形容器的容率比，容率比越大，用料越合理．
如果對任意的a，b∈R⁺，恒有如下結論：ab≤

a2+b2

2

，當且僅當a=b時取等號．試用上述結論求容率比的最大值，并求容率比最大時，該四棱錐的表面積．

Answer 1

分析：（1）設出所截等腰三角形的底邊邊長為xcm，在直角三角形中根據兩條邊長利用勾股定理做出四棱錐的高，表示出四棱錐的體積，根據實際意義寫出定義域．
（2）根據所給結論計算容率比的最大值，并求出四棱錐的表面積．

解答：解：（1）在正四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是邊長為x的正方形，
F是BC的中點，EF⊥BC，EF=5，
則四棱錐的高EO=

EF2-OF2

=

25-( x 2 )2

=

100-x2

2

，其中0＜x＜10，
∴四棱錐的體積V=

1

3

×

1

2

x2

100-x2

=

1

6

x2

100-x2

，定義域為（0，10）．
（2）側面積S'=4×

1

2

x×5=10，
∴容率比為

V

S′

=

1

60

x

100-x2

≤

1

60

•

x2+100-x2

2

=

5

6

，
當且進行x=

00-x2

，即x=5

2

時，

V

S′

有最大值

5

6

，
此時，四棱錐的表面積S=(5

2

)2+4×

1

2

×5

2

×5=50+50

2

．

點評：本題主要考查函數模型的應用，利用條件求出錐體的底面積和高，進而求出錐體的體積是解決本題的關鍵，考查學生的運算和推理能力．