Question

一塊邊長為10cm的正方形鐵片按圖（1）中所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個如圖（2）所示的正四棱錐形容器．在圖（1）中，x表示等腰三角形的底邊長；在圖（2）中，點E、F分別是四棱錐P-ABCD的棱BC，PA的中點，
（1）證明：EF∥平面PDC；
（2）把該容器的體積V表示為x的函數(shù)，并求x=8cm時，三棱錐A一BEF的體積．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點M，利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)及線面平行的判定定理即可證明．
（2）先找出此正四棱錐的高，進而即可求出其體積；再利用等積變形求三棱錐F-ABE即可．

解答：解：（1）證明：取PD的中點M，連接FM、CM，
∵F為PA的中點，∴FM∥=12AD，
∵E為BC的中點，∴EC∥=12AD．
∴FM∥=EC，
∴四邊形FMCE是平行四邊形，∴EF∥CM．
∵EF?平面PDC，CM?平面PDC，
∴EF∥平面PDC．
（2）連接對角線AC、BD交于點O，連接OE、PO、PE．
則PO⊥底面ABCD，OE=

1

2

x，PE=5．
∴PO=

52-( 1 2 x)2

=

100-x2

2

，
∴V_{四棱錐P-ABCD}=

1

3

x2×

100-x2

2

=

x2 100-x2

6

（0＜x＜10）．
取AO的中點H，連接FH，則FH∥PO，FH=

1

2

PO=

100-x2

4

．
∵PO⊥底面ABCD，∴FH⊥底面ABCD．
∴V_{三棱錐A-BEF}=V_{三棱錐F-ABE}=

1

3

×

100-x2

4

×

1

2

×

1

2

x×x=

100-x2

48

×x2，
當x=8時，V_{三棱錐A-BEF}=

100-82 ×82

48

=8．

點評：熟練掌握線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理及三角形的中位線定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)、錐體的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．