Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，已知圓A的參數(shù)方程為 （其中θ為參數(shù)），圓B的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）分別寫出圓A與圓B的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）判斷兩圓的位置關(guān)系，若兩圓相交，求其公共弦長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圓A的參數(shù)方程為 （其中θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得圓A：（x﹣1）2+（y+1）2=4．可得圓心A（1，﹣1），半徑R=2． 圓B的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：圓B：x2+y2﹣2y=0，平方可得：x2+（y﹣1）2=1，可得圓心B（0，1），半徑r=1．
（Ⅱ）∵|AB|= = ，而R﹣r=1，R+r=3，
＜3，∴兩圓相交，
兩個圓的方程相減可得：x﹣2y+1=0．
∴其公共弦長=2 =
【解析】（Ⅰ）圓A的參數(shù)方程為 （其中θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得圓A的普通方程．圓B的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）利用兩圓的圓心距離與半徑的和差半徑即可判斷出兩圓相交．兩個圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，利用弦長公式即可得出．