Question

【題目】已知橢圓的離心率是，點在橢圓上，A，B分別為橢圓的右頂點與上頂點，過點A，B引橢圓C的兩條弦AE、BF交橢圓于點E，F．

求橢圓C的方程；

若直線AE，BF的斜率互為相反數，

求出直線EF的斜率；

若O為直角坐標原點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線EF的斜率,面積的最大值.

【解析】

根據橢圓的離心率公式，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；

設直線AE及BF的方程，代入橢圓方程，求得E和F點坐標，根據直線的斜率公式，即可直線EF的斜率；

設直線EF的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得，根據三角形的面積公式及二次函數的性質，即可求得答案．

解：由橢圓的離心率，

則，將點代入橢圓方程：，

解得，，

橢圓的標準方程：；

設，，直線AE的方程：，

聯立，整理得：，

解得：，或，

，

設直線BF的方程為：，聯立，

整理得：，解得：或，

，則直線EF的斜率，

直線EF的斜率；

設直線EF的方程：，，

整理得：，

，則，

則，，

，

O到直線EF的距離，則，

設，，，

時，取最大值，最大值為，

面積的最大值．