Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=2+

4

3n-1

（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的最大項；
（2）設b_n=

an+p

an-2

，試確定實常數p，使得{b_n}為等比數列；
（3）設m，n，p∈N^*，m＜n＜p，問：數列{a_n}中是否存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列？如果存在，求出這三項；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據數列a_n}的通項公式可知隨著n的增大而減小，即為遞減數列，故可知a₁為數列中的最大項，進而可得答案．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，根據等比數列的性質可知b²_n+1-b_nb_n+2=0，把b_n代入，進而可求得p．
（3）根據（1）中數列{a_n}的通項公式可分別求得a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列，則2a_n=a_m+a_p，把a_m，a_n，a_p代入整理可得關于m，n，p的關系式，再根據m＜n＜p判定等式是否成立．

解答：解（1）由題意a_n=2+

4

3n-1

，隨著n的增大而減小，所以{a_n}中的最大項為a₁=4．
（2）b_n=

2+ 4 3n-1 +p

4 3n-1

=

(2+p)(3n-1)+4

4

=

(2+p)3n+(2-p)

4

，若{b_n}為等比數列，
則b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）所以[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[{2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N^*），
化簡得（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0即-（4-p²）•3ⁿ•4=0，解得p=±2．
反之，當p=2時，b_n=3ⁿ，{b_n}是等比數列；當p=-2時，b_n=1，{b_n}也是等比數列．
所以，當且僅當p=±2時{b_n}為等比數列．
（3）因為am=2+

4

3m-1

，an=2+

4

3n-1

，ap=2+

4

3p-1

，
若存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列，則2a_n=a_m+a_p，
所以2(2+

4

3n-1

)=2+

4

3m-1

+2+

4

3p-1

，
化簡得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）=1+3^p-m-2×3^n-m（*），
因為m，n，p∈N^*，m＜n＜p，
所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3^p-m≥3^p-n+1=3×3^p-n，3^p-m≥3^n-m+1=3×3^n-m，
（*）的左邊≤3ⁿ（2×3^p-n-3×3^p-n-1）=3ⁿ（-3^p-n-1）＜0，
右邊≥1+3×3^n-m-2×3^n-m=1+3^n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故數列{a_n}中不存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列．

點評：本題主要考查了等比數列的性質，等比數列問題常涉及指數函數、不等式、極值等問題，是高考常考的地方，故應重點掌握．