Question

（2014•長寧區一模）已知函數f(x)=

1

x

-log2

a+x

1-x

為奇函數．
（1）求常數a的值；
（2）判斷函數的單調性，并說明理由；
（3）函數g（x）的圖象由函數f（x）的圖象先向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到，寫出g（x）的一個對稱中心，若g（b）=1，求g（4-b）的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數的定義域關于原點對稱，以及

a+x

1-x

＞0，求得a=1，檢驗滿足f（-x）=-f（x）．
（2）根據f(x)=

1

x

-log2(-1-

2

x-1

)，log2(-1-

2

x-1

)單調遞增，

1

x

在（-1，0）及（0，1）上單調遞減，可得函數f（x）在（-1，0）及（0，1）上單調遞減．
（3）函數f（x）的圖象關于坐標原點（0，0）對稱，可得函數g（x）的一個對稱中心為（2，2），可得
g（4-x）+g（x）=4，再由g（b）=1，求得g（4-b）的值．

解答：解：（1）因為函數為奇函數，所以定義域關于原點對稱，由

a+x

1-x

＞0，
得（x-1）（x+a）＜0，所以a=1． 
這時f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，滿足f（-x）=-f（x），函數為奇函數，因此a=1．
（2）函數為單調遞減函數.f(x)=

1

x

-log2(-1-

2

x-1

)
利用已有函數的單調性加以說明．∵-1-

2

x-1

在x∈（-1，1）上單調遞增，因此log2(-1-

2

x-1

)單調遞增，又

1

x

在（-1，0）及（0，1）上單調遞減，因此函數f（x）在（-1，0）及（0，1）上單調遞減．
（3）因為函數f（x）為奇函數，因此其圖象關于坐標原點（0，0）對稱，
根據條件得到函數g（x）的一個對稱中心為（2，2），
因此有g（4-x）+g（x）=4，因為g（b）=1，因此g（4-b）=3．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，函數圖象的平移規律，屬于中檔題．