Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，△為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，，，，

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）找到平面中與直線平行的直線，利用線線平行證明線面平行即可；

（2）根據題意建立空間直角坐標系，用向量法處理二面角的求解.

（1） 因為，，

所以四邊形是平行四邊形．

所以．

因為 平面，平面，

所以 平面．即證.

（2）取的中點，連接，

因為，所以．

因為平面平面，平面，

平面平面，

所以平面．

以點為坐標原點，分別以直線，為軸，

軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則軸在平面內．

因為， ，

所以，，，，

則 ，．

設平面的法向量為，

由 得

令，解得，，得．

由題意得平面的法向量為，

所以．

又因為二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值是 ．