Question

A、B、C是半徑為1的球面上三點，B、C間的球面距離為

π

3

，點A與B、C兩點間的球面距離均為

π

2

，且球心為O，求：
（1）∠AOB，∠BOC的大�。�
（2）球心到截面ABC的距離；
（3）球的內接正方體的表面積與球面積之比．

Answer 1

分析：（1）根據球面距離的定義可得∠AOB、∠BOC、∠AOC的大小；
（2）欲求球心O到截面ABC的距離，將它看成是三棱錐的高，從而球心到截面ABC的距離可通過三棱錐的等體積法解決．
（3）球的內接正方體的對角線的長，就是球的直徑，據此求出正方體的棱長，求出兩個表面積即可確定比值．

解答：解：（1）∵球面距離?=θ•r（θ為劣弧所對圓心角），
且B、C間的球面距離為

π

3

，點A與B、C兩點間的球面距離均為

π

2

，
故得∠AOB=

π

2

，
∠BOC=

π

3

，
∠AOC=

π

2

；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴AB=AC=

2

，BC=1，
∴S_△OBC=

3

4

，S_△ABC=

7

4

V₀-ABC=

1

3

•

3

4

•1=

1

3

•

7

4

•d，
∴d=

21

7

，球心到截面ABC的距離為

21

7

，
（3）設球的內接正方體棱長為a，
根據球的直徑為正方體的對角線，
則

3

a=2，
∴a=

2 3

3

，
∴S_正方體：S_球面=6•(

2 3

3

)2：4Л=2：Л．

點評：本題主要考查了球的性質、點面間的距離計算，考查球的體積和表面積、球的內接體的知識，考查計算能力，空間想象能力，是基礎題．