【題目】如圖所示，橢圓
的左、右頂點分別為
，離心率
，長軸與短軸的長度之和為
.
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）在橢圓上任取點
（與兩點不重合），直線
交
軸于點
，直線
交軸于點
，證明：
為定值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）4
【解析】
（Ⅰ）由題意
，2a+2b＝10，結合
解得a＝3，b＝2，即得到橢圓方程；（Ⅱ）設P（x0，y0），直線PA交y軸于點C（0，y1），直線PB交y軸于點D（0，y2），求得直線PA，PB的方程，分別求出y1，y2，再根據向量的數量積即可證明.
（Ⅰ）由題可知，
，又解得
.故橢圓
的標準方程為
.
（Ⅱ）解法1：設
，直線
交
軸于點
，直線
交軸于點
.則
，即
.易知
同向，故
.
因為
，
，所以得直線的方程為
，令
，則
；直線的方程為
，令，則
,
所以
，為定值.
解法2：
的左、右頂點分別為
、
，則有
由（Ⅰ）知，設直線、的斜率分別為
，則
.
直線的方程為
，令得
；直線的方程為
令得
.所以
.
解法3：的左、右頂點分別為、，則
如題圖所示，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為推動更多人閱讀，聯合國教科文組織確定每年的
月
日為“世界讀書日”.設立目的是希望居住在世界各地的人，無論你是年老還是年輕，無論你是貧窮還是富裕，都能享受閱讀的樂趣，都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的思想大師們，都能保護知識產權.為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機調查了
名居民，經統(tǒng)計這人中通過電子閱讀與紙質閱讀的人數之比為
,將這人按年齡分組，其中統(tǒng)計通過電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求
的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡；
（2）把年齡在第
組的居民稱為青少年組，年齡在第
組的居民稱為中老年組，若選出的人中通過紙質閱讀的中老年有
人，請完成上面
列聯表，則是否有
的把握認為閱讀方式與年齡有關？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出以下四個命題：
（1）命題
，使得
，則
，都有
；
（2）已知函數f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則ab＝1；
（3）若平面α內存在不共線的三點到平面β的距離相等，則平面α平行于平面β；
（4）已知定義在
上的函數
滿足條件
，且函數
為奇函數，則函數
的圖象關于點
對稱．
其中真命題的序號為______________．（寫出所有真命題的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C： 
（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， 
），P4（1， 
）中恰有三點在橢圓C上.
（1）求C的方程；
（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
．
（1）若直線
不經過第四象限，求
的取值范圍；
（2）若直線交
軸負半軸于點
，交
軸正半軸于點
，
為坐標原點，設
的面積為
，求的最小值及此時直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，點
為橢圓
上任意一點，關于原點
的對稱點為
，有
，且
的最大值
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
是關于
軸的對稱點，設點
，連接
與橢圓相交于點
，問直線
與軸是否交于一定點.如果是，求出該定點坐標；如果不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
中，
，
，
.
（1）證明：數列
是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）在數列中，是否存在連續(xù)三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；
（3）若
且
，
，求證：使得
，
，
成等差數列的點列
在某一直線上.
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