Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和⊙C₂：x²+y²=r²（r＞0）都經過點P（-1，0），且橢圓C₁的離心率e=

2

2

，過點P作斜率為k₁，k₂的直線l₁，l₂分別交橢圓C₁、⊙C₂于點A，B，C，D，k₁=λk₂．
（1）求橢圓C₁和⊙C₂的方程；
（2）若直線BC恒過定點Q（1，0）求實數λ的值；
（3）當k₁=

1

2

時，求△PAC面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 1 a2 =1

，1=r²，由此能求出橢圓C₁和⊙C₂的方程．
（2）設直線BC為y=k₁（x+1），聯立

y=k1(x+1) x2+2y2=1

，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0，聯立

y=k1(x+1) x2+y2=1

，得(1+k12)x2+2k12x+k12-1=0，由此結合已知條件求出λ=2．
（3）當k₁=

1

2

時，A（

1

3

，

2

3

），|PA|=

2 5

3

，dc-l1=

|2-4k2|

5 (1+2k22)

，由此能求出△PAC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），且橢圓C₁的離心率e=

2

2

，
∴

e= c a = 2 2 1 a2 =1

，解得a=1，c=

2

2

，
∴b2=1-

1

2

=

1

2

，
∴橢圓C₁的方程為x²+2y²=1．
∵⊙C₂：x²+y²=r²（r＞0）經過點P（-1，0），
∴1=r²，
∴⊙C₂的方程為x²+y²=1．
（2）設直線BC為y=k₁（x+1），
∵過點P作斜率為k₁，k₂的直線l₁，l₂分別交橢圓C₁、⊙C₂于點A，B，C，D，
聯立

y=k1(x+1) x2+2y2=1

，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0，
聯立

y=k1(x+1) x2+y2=1

，得(1+k12)x2+2k12x+k12-1=0，
∴A（

1-2k12

1+2k12

，

2k1

1+k22

），B（

1-k12

1+k12

，

2k1

1+k12

），C（

1-2k22

1+2k22

，

2k2

1+2k22

），D（

1-k22

1+k22

，

2k2

1+k22

），
∵k₁=λk₂．直線BC恒過定點Q（1，0），
∴

QB

∥

QC

，
∴（

-2k12

1+k12

，

2k1

1+k12

）∥（

-4k22

1+2k22

，

2k2

1+k22

），
∴k₁=2k₂，解得λ=2．
（3）當k₁=

1

2

時，A（

1

3

，

2

3

），
∴|PA|=

2 5

3

，dc-l1=

|2-4k2|

5 (1+2k22)

，
∴S=

2|1-2k2|

3(1+2k22)

≤

1+ 3

3

，
∴k₂=

1- 3

2

時，（S_△PAC）_max=

3 +1

3

．

點評：本題考查橢圓方程和圓的方程的求法，考查實數值的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．