Question

已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓T經過P(1，

6

3

)，Q(

2

，

3

3

)．
（I）求橢圓T的標準方程；
（II）橢圓T上是否存在點E（m，n）使得直線l：x=my+n交橢圓于M，N兩點，且

OM

•

ON

=0？若存在求出點E坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（I）設橢圓方程為mx²+ny²=1，將坐標代入方程，即可求得橢圓的方程；
（II）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及

OM

•

ON

=0，即可求得結論．

解答：解：（I）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）
將坐標代入方程，得

m+ 2 3 n=1 2m+ 1 3 n=1

，∴

m= 1 3 n=1

，
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1…（4分）
（II）聯立方程

x2+3y2=3 x=my+n

，消去x可得（m²+3）y²+2mny+n²-3=0，
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
∴y1+y2=

-2mn

m2+3

，y1y2=

n2-3

m2+3

…（6分）
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=0，即y₁y₂+（my₁+n）（my₂+n）=0
所以(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0，
將韋達代入上式，化簡得：4n²=3（m²+1）①…（8分）
又點E（m，n）在橢圓上，∴

m2

3

+n2=1，∴n2=1-

m2

3

②
由①②得m2=

3

13

，n2=

12

13

，
所以E(±

3 13

，±

12 13

)…（12分）

點評：本題考查橢圓軛標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．