Question

【題目】函數f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且對于任意x1 ， x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（3）如果f（4）=3，f（x﹣2）+f（x+1）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），

令x1=x2=1，f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），

∴f（1）=0，

（2）解：∵f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，

∴f（﹣1）=0，

則f（﹣1×x）=f（﹣x）=f（﹣1）+f（x）=f（x）

∴f（x）為偶函數

（3）解：∵f（x1x2）=f（x1）+f（x2）且f（4）=3，

∴f（x﹣2）+f（x+1）≤3，即f[（x﹣2）（x+1）]≤f（4），

又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數且f（x）為偶函數，

∴ 或

解得：﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜2或2＜x≤3，

∴x的取值范圍為[﹣2，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，3]

【解析】（1）對于任意x1 ， x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，可求f（1）；（2）由（1）賦值可求f（﹣1）=0，進而可求f（﹣1×x）=f（﹣x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）為偶函數；（3）由f（4）=3，再由奇偶性和單調性，即可得到不等式組解得即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．