Question

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，，,，且滿足.

（1）求證：平面側(cè)面；
（2）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）可證得面側(cè)面（2）此問(wèn)采用空間向量法較好。先建系，寫出個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，再給出各向量的坐標(biāo)，分別求面和面的法向量。先求得兩法向量所成角的余弦值，但兩法向量所成的角和二面角相等或互補(bǔ)，觀察可知此二面角為頓角，所以余弦值為負(fù)值。
試題解析：（1）證明： ，

又
          4分
（2）由（Ⅰ）知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分
別為軸、軸、軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

, , ,  
又由線段上分別有一點(diǎn)，
滿足，
所以E(1，2，0), F(0，1，1)        6分
 
面的一個(gè)法向量       8分
此時(shí)面的一個(gè)法向量為,則。
設(shè)所求二面角平面角為，觀察可知為鈍角，
則 。               12分