Question

如圖，邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求二面角A-EB-C的大小．

Answer 1

∵四邊形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，
分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz．
設EA=AC=BC=2，則A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的對角線的交點，
∴M（0，1，1）．
（1）

AM

=(0，1，1)，

EC

=(0，2，0)-(0，0，2)=(0，2，-2)，

CB

=(2，2，0)-(0，2，0)=(2，0，0)，
∴

AM

•

EC

=0，

AM

•

CB

=0
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC．
（2）設平面EBC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

⊥

AE

且

n

⊥

AB

，
∴

n

•

AE

=0，

n

•

AB

=0．
∴

2z=0 2x+2y=0

，取y=-1，則x=1，則

n

=(1，-1，0)．
又∵

AM

為平面EBC的一個法向量，且）

AM

=(0，1，1)，
∴cos＜

n

，

AM

＞=

n ? AM

| n || AM |

=-

1

2

，
設二面角A-EB-C的平面角為θ，則cosθ=|cos＜

n

，

AM

＞|=

1

2

，
∴二面角A-EB-C等60°．