Question

在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分別是棱AB，BC，CP的中點，AB=AC=1，PA=2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為（　　）

A． 1 5

B． 2 5

C． 5 5

D． 2 5 5

Answer 1

以A為坐標原點，以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分別是棱AB，BC，CP的中點，
AB=AC=1，PA=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），
D（

1

2

，0，0），E（

1

2

，

1

2

，0），F（0，

1

2

，1），
∴

AP

=（0，0，2），

DE

=（0，

1

2

，0），

DF

=(-

1

2

，

1

2

，1)，
設

n

=(x，y，z)是平面DEF的一個法向量，
則

n • DE =0 n • DF =0

，即

1 2 y=0 - 1 2 x+ 1 2 y+z=0

，
取x=1，則

n

=(1，0，

1

2

)，
設PA與平面DEF所成的角為θ，
則 sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=|

1

2× 1+ 1 4

|=

5

5

．
故選：C．