Question

【題目】如圖，底面ABCD是邊長為3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝，DE＝.

（1）求直線CA與平面BEF所成角的正弦值；

（2）在線段AF上是否存在點M，使得二面角MBED的大小為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；.

【解析】

（1）以D為坐標原點，射線DA，DC，DE分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間坐標系，求出坐標，進而求出坐標，求出平面BEF的法向量坐標，按空間向量線面角公式，即可求解；

（2）設M（3，0，t），0≤t≤，求出平面MBE的法向量坐標，利用是平面BED的一個法向量，按空間向量面面角公式，即可求出結論.

（1）因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以以D為坐標原點，

射線DA，DC，DE分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，

建立空間直角坐標系Dxyz，如圖所示.則A（3，0，0），

F（3，0，），E（0，0，），B（3，3，0），

C（0，3，0），=（3，－3，0），＝（－3，－3，3），

＝（3，0，）.

設平面BEF的法向量為＝（x1，y1，z1），

取x1＝，得＝（，2，3）.

所以

所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為.

（2）假設存在點M在線段AF上滿足條件，

設M（3，0，t），0≤t≤，

則＝（0，－3，t），＝（－3，－3，）.

設平面MBE的法向量為＝（x2，y2，z2），

令y2＝t，得m＝（－t，t，3）.

易知＝（3，－3，0）是平面BED的一個法向量，

所以|＝，

整理得2t2－t＋15＝0，解得t＝或t＝（舍去），

故在線段AF上存在點M，使得二面角MBED的大小為60°，此時.