Question

【題目】已知雙曲線的兩個焦點為、，P為該雙曲線上一點，滿足，P到坐標原點O的距離為d，且，則________.

Answer 1

【答案】4或9

【解析】

求得雙曲線的b，c，設P為右支上一點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，運用雙曲線的定義，結合條件，由兩點的距離公式，解不等式可得a的正整數解．

雙曲線1的b＝2，c2＝a2+4，

設P為右支上一點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，

由雙曲線的定義可得m﹣n＝2a，

由題意可得4c2＝mn，

又由三角形中線與邊的關系可得:2 m2+2n2＝(2c)2+(2d)2，

即m2+n2＝2c2+2d2，

可得（m﹣n）2+2mn＝4a2+8c2＝2c2+2d2

又d2∈（25，81），

即25＜5a2+12＜81，

由a為正整數，可得a2＝4或9，

故答案為：4或9．