Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

（1）證明PC⊥AD；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，DA平面ABCD，

∴DA⊥PA，

又∵AC⊥AD，PA∩AC=A，

∴DA⊥面PAC，

又PC面PAC，∴DA⊥PC

（2）證明：過A作AM⊥PC交PC于M，連接DM，則∠AMD為所求角，

在Rt△PAC中，AM= ，

在Rt△DAM中，DM= ，

在Rt△AMD中，sin∠AMD= ．

∴二面角A﹣PC﹣D的正弦值為 ．

【解析】（1）推導出DA⊥PA，AC⊥AD，從而DA⊥面PAC，由此能證明DA⊥PC．（2）過A作AM⊥PC交PC于M，連接DM，則∠AMD為所求角，由此能求出二面角A﹣PC﹣D的正弦值．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．