Question

如圖，正四棱柱中，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別為、上的點(diǎn)，且CF=2GD=2.求：

（1）到面EFG的距離；
（2）DA與面EFG所成的角的正弦值；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)P，使得DP//面EFG?,若存在，找出點(diǎn)P的位置，若不存在，試說明理由。

Answer 1

1）（2）= （3）DP//面EFG

本試題主要是考查了空間幾何體中點(diǎn)到面的距離，以及線面角的求解，和線面平行的判定的綜合運(yùn)用。
（1）合理的建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量在法向量上的投影得到點(diǎn)C‘到面EFG的距離；
（2）而對于線面角，DA與面EFG所成的角的正弦值則可以利用斜向量與法向量的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)量積的夾角公式得到。
（3）假設(shè)在直線BB’上是否存在點(diǎn)P，使得DP//面EFG，根據(jù)假設(shè)推理論證得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

則E(1，2，0)，F(xiàn)（0，2，2），G（0，0，1）∴=（－1，0，2），=（0，－2，－1），
設(shè)=（x，y，z）為面EFG的法向量，則=0，=0，x=2z，z=-2y，取y=1，
得=（－4，1，－2）
（1）∵=（0，0，－1），∴C^’到面EFG的距離為 
（2）=（2，0，0），設(shè)DA與面EFG所成的角為θ，則= 
（3）存在點(diǎn)P，在B點(diǎn)下方且BP=3，此時(shí)P(2，2，－3)=(2，2，－3)，∴=0，∴DP//面EFG