Question

已知直線x+2y-4=0與拋物線y²=4x相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試在拋物線的弧

AOB

上求一點(diǎn)P，使△PAB面積最大．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出P到直線l的距離的表達(dá)式，由不等式特點(diǎn)求面積最大時(shí)P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意

x+2y-4=0 y2=4x

，化簡(jiǎn)為y²+8y-16=0，所以y1=-4+4

2

，y2=-4-4

2

，所以x1=12-8

2

，x2=12+8

2

，
設(shè)點(diǎn)P（t²，2t），因?yàn)镻在拋物線的弧

AOB

上
所以-2-2

2

≤t≤-2+2

2

，
又P到直線l的距離為：d=

|t2+4t-4|

5

=

|(t+2)2-8|

5

，t∈[-2-2

2

，-2+2

2

]，
所以t=-2，即P（4，-4）時(shí)，P到直線l的距離最大，
即此時(shí)△PAB面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，適當(dāng)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，正確求出P到直線l的距離是關(guān)鍵．