Question

【題目】已知函數f（x）= ，g（x）=f（x）﹣a
（1）當a=2時，求函數g（x）的零點；
（2）若函數g（x）有四個零點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記g（x）得四個零點分別為x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 求x1+x2+x3+x4的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＞0時，由|lnx|=2解得x=e2或x= ，

當x≤0時，由x2+4x+1=2解得x=﹣2+ （舍）或x=﹣2﹣ ，

∴函數g（x）有三個零點，分別為x=e2或x= ，x=﹣2﹣ ．

（2）解：函數g（x）=f（x）﹣a的零點個數即f（x）的圖象與c的圖象的交點個數，

作函數f（x）的圖象y=a的圖象，結合兩函數圖象可知，

函數g（x）有四個零點時a的取值范圍是0＜a≤1；

（3）解：不妨設x1＜x2＜x3＜x4，結合圖象知x1+x2=﹣4且0＜x3＜1，x4＞1，

由|lnx3|=|lnx4|=a，知x3x4=1且x4∈（1，e]，

∴x3+x4= +x4∈（2，e+ ]，

故x1+x2+x3+x4的取值范圍是∈（﹣2，e+ ﹣4]

【解析】（1）根據函數零點的定義解方程即可．（2）利用函數與方程之間的關系轉化為兩個函數的交點個數問題，利用數形結合進行判斷求解．（3）根據函數圖象結合函數的對稱性進行判斷即可．