Question

【題目】定義：若數列滿足所有的項均由，1構成且其中有個，1有個，則稱為“數列”.

（1），，為“數列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？

（2），，為“數列”中的任意三項，則存在多少正整數對使得，且的概率為.

Answer 1

【答案】（1）16種；（2）共有115個數對符合題意.

【解析】

（1）將問題分為“，，1”，“1，1，1”兩種情況，結合分類計數原理，即可容易求得結果；

（2）根據古典概型的概率計算，以及組合數的計算，根據之間的關系，分類討論解決問題.

（1）三個數乘積為1有兩種情況：“，，1”，“1，1，1”，

其中“，，1”共有：種，“1，1，1”共有：種，

利用分類計數原理得：

，，為“數列”中的任意三項，

則使得的取法有：種.

（2）與（1）基本同理，“，，1”共有種，“1，1，1”共有種，

而在“數列”中任取三項共有種，

根據古典概型有：，

再根據組合數的計算公式能得到：

，

①時，應滿足，

,,，,3,4,,，共99個，

②時，

應滿足，

視為常數，可解得，

，，

根據可知，，（否則，

下設，則由于為正整數知必為正整數，

，，

化簡上式關系式可以知道：，

，均為偶數，設，，則，

，由于，中必存在偶數，

只需，中存在數為3的倍數即可，

，3，5，6，8，9，11，，23，24，

，11，13，，47，49.

檢驗：，符合題意，

共有16個，

綜上所述：共有115個數對符合題意.