Question

12、函數y=log_a（x²+2x-3），當x=2時y＞0，則此函數的單調遞減區間為

（-∞，-3）

．

Answer 1

分析：根據題意，用換元法，令x²+2x-3=t，則函數y=log_at，由t=x²+2x-3＞0，得：x＜-3或  x＞1．由當x=2時，y=log_at=log_a⁵＞0，可得a＞1，故函數y的單調性和t的單調性一致．在（-∞，-3）和（1，+∞）上，通過t的單調性研究y=log_a^t 的單調性，可得此函數的單調遞減區間．

解答：解：令t=x²+2x-3=（x+3）（x-1）=（x+1）²-4，則 y=log_a^t，t＞0，∴x＜-3或  x＞1．
∵當x=2時，y=log_a⁵＞0，∴a＞1，
在（-∞，-3）上，t是減函數，∴y=log_a^t 是個減函數，
在（1，+∞）上，t是增函數，∴y=log_a^t 是個增函數，
∴此函數的單調遞減區間為（-∞，-3）．
故答案為（-∞，-3）．

點評：本題考查對數函數、二次函數的單調性及單調區間，屬于對復合函數求單調區間．