Question

【題目】在直角坐標系中，曲線：與直線：交于，兩點.

（1）若的面積為，求；

（2）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？若存在，求以線段為直徑的圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，方程為（或）

【解析】

（1）聯立直線與拋物線方程，設出，兩點坐標，結合韋達定理，由弦長公式求出，由點到直線距離公式求出到的距離，再由即可求出結果；

（2）等價于直線，傾斜角互補，所以只需求出使直線，斜率之和為的點坐標即可，進而可求出結果.

解：（1）將代入，得，

設，，則，，

從而 .

因為到的距離為，

所以的面積 ，

解得.

（2）存在符合題意的點，證明如下：

設為符合題意的點，直線，的斜率分別為，.

從而

.

當時，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補，

故，所以點符合題意.

故以線段為直徑的圓的方程為（或）