Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F₂，過F₂線與圓x²+y²=b²相切于點A，并與橢圓C交與不同的兩點P，Q，如圖，PF₁⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OA，PF₁，則OA⊥PQ，PF₁⊥PQ，因為A為線段PQ的靠近P的三等分點，所以A為線段PA的中點，于是PF₁=2b．結合橢圓的定義有PF₂=2a-2b，由此能求出橢圓的離心率．
解答：解：連接OA，PF₁，
則OA⊥PQ，又PF₁⊥PQ，可得OA∥PF₁
因為A為線段PQ的靠近P的三等分點，所以A為線段PF₂的中點，
于是PF₁=2b．
結合橢圓的定義有PF₂=2a-2b，
在直角三角形PF₁F₂中，
利用勾股定理得（2a-2b）²+（2b）²=（2c）²，
將c²=a²-b²代入，
整理可得b=a，
于是e====．
故選C．
點評：離心率問題是解析幾何的重點內容，各省考查頻率相當高，往往融橢圓、雙曲線的定義與平面幾何的性質與一體，能夠較好的考查學生的思維層次，備受命題專家的青睞．此題結合圓、橢圓、切線等知識，含金量高．