Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，記f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1），n∈N^*．
（1）若數列{a_n}是首項與公差均為1的等差數列，求f（2015）；
（2）若a₁=1，a₂=2，且數列{a_2n-1}、{a_2n}均是公比為4的等比數列，求證：對任意正整數n，f（n）≥n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）依題意，可求得a_n=n，a_n+1=n+1，S_n=

n(n+1)

2

，于是可求得f（n）=0，從而可求f（2015）；
（2）依題意，可求得a_n=2^n-1，于是可求得f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1）=2ⁿ（2ⁿ⁺¹-3n-2）+2n，對n分n=1與n≥2討論，即可證得對任意正整數n，f（n）≥0．

解答： （1）解：∵數列{a_n}是首項與公差均為1的等差數列，
∴a_n=1+1×（n-1）=n，Sn=n+

n(n-1)

2

=

n2+n

2

，
∴f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1）=2(n+1)•

n(n+1)

2

-n(2•

n2+n

2

+n+1)=0，
∴f（2015）=0；
（2）證明：∵a₁=1，a₂=2，且數列{a_2n-1}、{a_2n}均是公比為4的等比數列，
∴（2）由題意?n∈N^*，a_2n-1=1×4^n-1=2^2n-2，
a_2n=2×4^n-1=2^2n-1，
∴a_n=2^n-1，
∴a_n+1=2ⁿ，S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴f（n）=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1）
=2ⁿ⁺¹（2ⁿ-1）-n（2ⁿ⁺¹-2+2ⁿ）
=2ⁿ（2ⁿ⁺¹-3n-2）+2n，
當n=1時，f（1）=0；                     
當n≥2時，2ⁿ⁺¹=4×（1+1）^n-1≥4[1+（n-1）]=4n，
∴f（n）=2ⁿ（2ⁿ⁺¹-3n-2）+2n≥2ⁿ（4n-3n-2）+2n=2ⁿ（n-2）+2n≥2n＞0，
故對任意正整數n，f（n）＞0．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列與等比數列的通項公式與求和公式的綜合應用，突出考查分類討論思想與放縮法的應用，屬于難題．