Question

設函數f（x）=e^2x-4ae^x-2ax，g（x）=x²+5a²，a∈R
（1）若f（x）在R上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）記F（x）=f（x）+g（x），求證：F（x）≥

4(1-ln2)2

5

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=2e^2x-4ae^x-2a=2（e^x-a）²-2a²-2a；從而由導數的正負確定a的取值范圍；
（2）化簡F（x）=f（x）+g（x）=e^2x-4ae^x-2ax+x²+5a²=（e^x-2a）²+（x-a）²，可知（e^x-2a）²+（x-a）²可看成函數y=e^x與y=2x上的點的距離的平方；從而由幾何意義求解．

解答： 解：（1）f′（x）=2e^2x-4ae^x-2a
=2（e^x-a）²-2a²-2a；
當a≤0時，f（x）在R上單調遞增，
當a＞0時，-2a²-2a≥0恒成立不可能，
故a的取值范圍為（-∞，0]；
（2）證明：F（x）=f（x）+g（x）
=e^2x-4ae^x-2ax+x²+5a²
=（e^x-2a）²+（x-a）²，
（e^x-2a）²+（x-a）²可看成函數y=e^x與y=2x上的點的距離的平方；
故令y′=e^x=2得，
x=ln2，
故點的坐標為（ln2，2）；
故d=

|2ln2-2|

12+22

；
故F（x）≥（

|2ln2-2|

12+22

）²=

4(1-ln2)2

5

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的幾何意義的運用，屬于中檔題．