Question

已知函數，當時，函數取得極大值.
（１）求實數的值；
（２）已知結論：若函數在區間內導數都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數，則對任意，都有；
（３）已知正數，滿足，求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數，都有.

Answer 1

（1）-1；（2）（3）見解析.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。并和不等式進行綜合的試題。有難度。
解：（１）
 
（３）用數學歸納法證明.
①當n=2時，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
當n=2時，結論成立.           …………………………9分
②假設當n=k時結論成立，即當時，
. 當n=k+1時，設正數，令，
， 則，且.

          …………………………13分
當n=k+1時，結論也成立.
綜上由①②，對任意，結論恒成立. …………………………14分