Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數有且只有一個極值點，求實數的取值范圍；

（2）對于函數，，，若對于區間上的任意一個，都有，則稱函數是函數，在區間上的一個“分界函數”.已知，，問是否存在實數，使得函數是函數，在區間上的一個“分界函數”？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數導數：，再根據函數有且只有一個極值點，得在區間上有且只有一個零點，最后結合二次函數實根分布得，解得實數的取值范圍是；（Ⅱ）由題意得當時，恒成立，

且恒成立，即問題為恒成立問題，解決方法為轉化為對應函數最值問題：記，利用導數研究其單調變化規律，確定其最大值：當時， 單調遞減，最大值為，由，解得；當時，最大值為正無窮大，即在區間上不恒成立，同理記，利用導數研究其單調變化規律，確定其最小值：由于，所以在區間上單調遞增，其最小值為，得.

試題解析：（1），

記，

依題意，在區間上有且只有一個零點，

∴，得實數的取值范圍是；………………………………5分

（Ⅱ）若函數是函數，在區間上的一個“分界函數”，

則當時，恒成立，

且恒成立，…………………………………………6分

記，

則，

若，即：

當時，，單調遞減，且，

∴，解得；…………………………………………8分

若，即：

的圖象是開口向上的拋物線，

存在，使得，

從而，在區間上不會恒成立，…………………10分

記，

則，

∴在區間上單調遞增，

由恒成立，得，得.

綜上，當時，函數是函數，在區間上的一個“分界函數”. 13分