Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點F₁、F₂與短軸一端點的連線互相垂直，M為橢圓上任一點，且△MF₁F₂的面積最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設圓A：x2+y2=

2

3

的切線l與橢圓C交于P、Q兩點，求以坐標原點O及P、Q三點為頂點的△OPQ的外接圓面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦點F₁、F₂與短軸一端點的連線互相垂直，可得b=c=1，從而可求橢圓方程；
（2）l斜率不存在時，l方程為x=±

6

3

，此時OP⊥OQ；l斜率存在時，設l方程為y=kx+m，利用l與圓A：x2+y2=

2

3

相切，可得3m²=2（1+k²），聯立l與橢圓方程，利用韋達定理，可得OP⊥OQ，于是△OPQ為直角三角形，其外接圓直徑為|PQ|，可求|PQ|=2

(1+k2) (8k2+2) 3(1+2k2)2

，令1+2k²=t≥1，可得|PQ|=2

(t+1)(2t-1) 3t2

=2

1 3 (2+ 1 t - 1 t2 )

，利用配方法可求△OPQ外接圓最大面積．

解答：解：（1）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1中，由題意可知

b=c bc=1

…（4分）
∴b=c=1，∴a=

2

，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1…（6分）
（2）l斜率不存在時，l方程為x=±

6

3

，此時P(±

6

3

，±

6

3

)、Q(±

6

3

，?

6

3

)，∴OP⊥OQ…（7分）
l斜率存在時，設l方程為y=kx+m
∵l與圓A：x2+y2=

2

3

相切，∴

|m|

1+k2

=

2 3

，即3m²=2（1+k²）
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），聯立l與橢圓方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消元可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0…（9分）
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2+y1y2=(1+k2)

2m2-2

1+2k2

+km•(

-4km

1+2k2

)+m2=

3m2-2(1+k2)

1+2k2

=0
∴OP⊥OQ…（11分）
于是△OPQ為直角三角形，其外接圓直徑為|PQ|，
|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[( -4km 1+2k2 )2-4• 2m2-2 1+2k2 ]

∵3m²=2（1+k²），∴|PQ|=2

(1+k2) (8k2+2) 3(1+2k2)2

令1+2k²=t≥1，∴|PQ|=2

(t+1)(2t-1) 3t2

=2

1 3 (2+ 1 t - 1 t2 )

∵t≥1，∴0＜

1

t

≤1
∴

1

t

=

1

2

，即t=2，k2=

1

2

時，|PQ|取最大值
∴△OPQ外接圓最大面積為

3

4

π…（14分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是確定△OPQ為直角三角形．