Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝，AC＝3， BC＝2，P是△ABC內的一點．

（1）若P是等腰直角三角形PBC的直角頂點，求PA的長；

（2）若∠BPC＝，設∠PCB＝θ，求△PBC的面積S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值．

Answer 1

【答案】(1) （2）S(θ)＝ ，S(θ)的最大值為

【解析】試題分析：（1）在△PAC中，已知兩邊一角求第三邊，根據余弦定理可得（2）先由正弦定理用θ表示PC，再根據三角形面積公式得S(θ)，利用二倍角公式以及配角公式將S(θ)化為基本三角函數形式，再根據正弦函數性質求最大值

試題解析：　解　(1)解法一：∵P是等腰直角三角形PBC的直角頂點，且BC＝2，

∴∠PCB＝，PC＝，

又∵∠ACB＝，∴∠ACP＝，

在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，∴PA＝.

解法二：依題意建立如圖直角坐標系，則有C(0,0)，B(2,0)，A(0,3)，

∵△PBC是等腰直角三角形，∠ACB＝，

∴∠ACP＝，∠PBC＝，

∴直線PC的方程為y＝x，直線PB的方程為y＝－x＋2，

由得P(1,1)，

∴PA＝＝，

(2)在△PBC中，∠BPC＝，∠PCB＝θ，

∴∠PBC＝－θ，

由正弦定理得＝＝，

∴PB＝sinθ，PC＝sin，

∴△PBC的面積S(θ)＝PB·PCsin

＝sinsinθ

＝2sinθcosθ－sin2θ＝sin2θ＋cos2θ－

＝sin－，θ∈，

∴當θ＝時，△PBC面積的最大值為.