Question

【題目】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC，E是BC的中點(diǎn).

（1）求證：平面AB1E⊥平面B1BCC1；

（2）求證：平面AB1E．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

因?yàn)锳E平面ABC，

所以CC1AE，

因?yàn)锳B=AC，E為BC的中點(diǎn)，

所以AEBC．

因?yàn)锽C在平面B1BCC1內(nèi)，CC1在平面B1BCC1內(nèi)，且BC∩CC1=C，

所以AE平面B1BCC1．

因?yàn)锳E在平面AB1E內(nèi)，

所以平面AB1E平面B1BCC1．

（2）連接A1B，設(shè)A1B∩AB1=F，連接EF．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1B1B為平行四邊形，

所以F為A1B的中點(diǎn)．

又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，

所以EF∥A1C．

因?yàn)镋F在平面AB1E內(nèi)，A1C不在平面AB1E內(nèi)，

所以A1C∥平面AB1E．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面垂直、面面垂直的判定，屬于難題.證明線面平行的常用方法：

①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.

②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面．

本題（2）是就是利用方法①證明的.